Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$

Schritt 1

Setze $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ gleich $0$ .

$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + 4 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4$ heraus.

$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 5 u + 4) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $u^{2} - 5 u + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 4) (u - 1)) = 0$

Schritt 2.1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.9.1

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.9.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x ((x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 2.1.9.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2, - 1, 1$

Schritt 3