Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 61 x - 55$

Schritt 1

Setze $x^{3} - 5 x^{2} - 61 x - 55$ gleich $0$ .

$x^{3} - 5 x^{2} - 61 x - 55 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 5 x^{2} - 61 x - 55$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 55, \pm 5, \pm 11$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 55, \pm 5, \pm 11$

Schritt 2.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 61 \cdot - 1 - 55$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{2} - 61 \cdot - 1 - 55$

Schritt 2.1.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 5 \cdot 1 - 61 \cdot - 1 - 55$

Schritt 2.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 1 - 5 - 61 \cdot - 1 - 55$

Schritt 2.1.1.3.5

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$- 6 - 61 \cdot - 1 - 55$

Schritt 2.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 61$ mit $- 1$ .

$- 6 + 61 - 55$

Schritt 2.1.1.3.7

Addiere $- 6$ und $61$ .

$55 - 55$

Schritt 2.1.1.3.8

Subtrahiere $55$ von $55$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 61 x - 55}{x + 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 5 x^{2} - 61 x - 55$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$61 x$

$55$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$55 x$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$55 x$	-	$55$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 55 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$55$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$55 x$	-	$55$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$55$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$55 x$	-	$55$
							-	$55 x$	-	$55$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 55 x - 55$

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$55$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$55 x$	-	$55$
							+	$55 x$	+	$55$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$55$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$61 x$	-	$55$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$61 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$55 x$	-	$55$
							+	$55 x$	+	$55$
										$0$

Schritt 2.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 6 x - 55$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 5 x^{2} - 61 x - 55$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{2} - 6 x - 55) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 55$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 55$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 55$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 11, 5$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) ((x - 11) (x + 5)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 11) (x + 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 11 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 11$ gleich $0$ .

$x - 11 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 11$

Schritt 2.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 11) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 11, - 5$

Schritt 3