Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$

Schritt 1

Setze $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ gleich $0$ .

$x^{3} - x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 2.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 3^{2} - 4 \cdot 3 - 6$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 3^{2} - 4 \cdot 3 - 6$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 6$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$27 - 9 - 4 \cdot 3 - 6$

Schritt 2.1.3.5

Subtrahiere $9$ von $27$ .

$18 - 4 \cdot 3 - 6$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$18 - 12 - 6$

Schritt 2.1.3.7

Subtrahiere $12$ von $18$ .

$6 - 6$

Schritt 2.1.3.8

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 4 x - 6}{x - 3}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ durch $x - 3$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$6$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	-	$6$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x - 6$

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	+	$6$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x + 2$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{2} + 2 x + 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + 2 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + 2 x + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i, - 1 - i$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x^{2} + 2 x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1 + i, - 1 - i$

Schritt 3