Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$1 - 5 + 5 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- 4 + 5 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 4 + 5 - 1$

Schritt 1.3.7

Addiere $- 4$ und $5$ .

$1 - 1$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1}{x - 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4

Setze $x^{2} - 4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} - 4 x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$x = 1, 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$

Schritt 7