Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 x + 3}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 (x) + 3}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 4$ plus $- 6$

$\frac{x}{8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x}{(8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x}{4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{x}{(2 x - 1) (4 x - 3)}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Schritt 1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$

Schritt 1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(2 x - 1) (4 x - 3)$ .

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x - 3$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{A (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.7.1.2

Dividiere $(A) (4 x - 3)$ durch $1$ .

$x = (A) (4 x - 3) + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A (4 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = 4 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.7.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $A$ .

$x = 4 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x - 3$ .

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Schritt 1.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 4 A x - 3 A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Schritt 1.7.5.2

Dividiere $(B) (2 x - 1)$ durch $1$ .

$x = 4 A x - 3 A + (B) (2 x - 1)$

Schritt 1.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 4 A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Schritt 1.7.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Schritt 1.7.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B$ .

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Schritt 1.7.9

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - B$

Schritt 1.8

Stelle um.

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Schritt 1.8.1

Bewege $A$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 B x - B$

Schritt 1.8.2

Bewege $B$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 x B - B$

Schritt 1.8.3

Bewege $- 3 A$ .

$x = 4 x A + 2 x B - 3 A - B$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 4 A + 2 B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $1 = 4 A + 2 B$ nach $A$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $4 A + 2 B = 1$ um.

$4 A + 2 B = 1$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2 B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 A = 1 - 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.1.3

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1 - 2 B$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1 - 2 B$ durch $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.1.3.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 3.1.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 B$ heraus.

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.1.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 (2)}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.1.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 \cdot 2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.1.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.1.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 3 A - 1 B$ durch $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ .

$0 = - 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - 3 (\frac{1}{4}) - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Multipliziere $- 3 (- \frac{B}{2})$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + 3 (\frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{B}{2}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.5

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $- B$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $- B$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $B$ aus $3 B - B \cdot 2$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $B$ aus $3 B$ heraus.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $B$ aus $- B \cdot 2$ heraus.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $B$ aus $B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.3

Löse in $0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$ um.

$- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.3.2

Addiere $\frac{3}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{B}{2} = \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$B = 2 (\frac{3}{2 (2)})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = 2 (\frac{3}{2 \cdot 2})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.3.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{3}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ durch $\frac{3}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $\frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$A = \frac{1}{4} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{1 - 3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$A = \frac{- 2}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$A = \frac{2 (- 1)}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Schritt 3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{3}{2}$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1} + \frac{\frac{3}{2}}{4 x - 3}$