Elementarmathematik Beispiele

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 54 x + 9 x^{2}$ an.

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Schritt 1.1.1

Stelle $- 54 x$ und $9 x^{2}$ um.

$9 x^{2} - 54 x$

Schritt 1.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Schritt 1.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $2$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 54$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Schritt 1.1.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.1.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 27}{9}$

Schritt 1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $9$ .

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Schritt 1.1.4.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 27$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Schritt 1.1.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Schritt 1.1.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 1.1.4.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 1.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.2.1.1

Potenziere $- 54$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Schritt 1.1.5.2.1.3

Dividiere $2916$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Schritt 1.1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$e = 0 - 81$

Schritt 1.1.5.2.2

Subtrahiere $81$ von $0$ .

$e = - 81$

Schritt 1.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ ein.

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Schritt 1.2

Setze $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ für $- 54 x + 9 x^{2}$ ein in der Gleichung $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

Schritt 1.3

Bringe $- 81$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $81$ auf beiden Seiten.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

Schritt 1.4

Addiere $63$ und $81$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

Schritt 1.5

Teile jeden Term durch $144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere $\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ und $0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Schritt 5.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Schritt 6.2

Vereinfache $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ und $0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Schritt 6.2.4

Multipliziere $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

Schritt 6.2.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 6.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ und $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ .

Asymptoten: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 9