Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{7}{2}$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $- 2$ um als $3$ plus $- 5$

$\frac{3 x^{2} + (3 - 5) x - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{2 x + 7}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(x + 1) (3 x - 5)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.4

Entferne die Klammern.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.5

Stelle $x$ und $3$ um.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.6

Stelle $x$ und $- 5$ um.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.7

Entferne die Klammern.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $x$ .

$\frac{3 x \cdot x - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{1 + 1} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.14

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.2.15

Addiere $- 5 x$ und $3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$7$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$\frac{3 x}{2}$
	$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	+	$\frac{21 x}{2}$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + \frac{21 x}{2}$

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- \frac{25 x}{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$\frac{175}{4}$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- \frac{25 x}{2} - \frac{175}{4}$

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$
							+	$\frac{155}{4}$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{3 x}{2} - \frac{25}{4} + \frac{155}{4 (2 x + 7)}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{7}{2}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 7