Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2 - 1}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{2 x^{2}}{x^{2 - 1}}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (2 x)}{x}$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (2 x)}{x^{1}}$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x}{1}$

Schritt 6.1.2.5

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$2 x$

Schritt 6.2

Da aus der Polynomendivision kein polynomialer Teil resultiert, gibt es keine schiefen Asymptoten.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 8