Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 4 y^{2} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Schritt 2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{x}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $\frac{1}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Stelle $- {(\frac{1}{2})}^{2}$ und ${(\frac{x}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{2}$ und $b = \frac{1}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

Schritt 4.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

Schritt 4.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{2}}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{2}$ mit $\frac{x - 1}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}}$

Schritt 4.6

Schreibe $\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))$ um.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{4}}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Schritt 6

Um als Funktion von $x$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $y$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $x$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (x) = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}, - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$