Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} - x^{3} - 51 x^{2} + 25 x + 25$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Schritt 2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} + 25 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x (x^{2}) + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- x$ aus $25 x$ heraus.

$- x (x^{2}) - x (- 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (- 25)$ heraus.

$- x (x^{2} - 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Schritt 3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- x (x^{2} - 5^{2}) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$- x ((x + 5) (x - 5)) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 25$

Schritt 6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 u + 25$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ und deren Summe gleich $b = - 51$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 51$ aus $- 51 u$ heraus.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 (u) + 25$

Schritt 7.1.2

Schreibe $- 51$ um als $- 1$ plus $- 50$

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} + (- 1 - 50) u + 25$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 1 u - 50 u + 25$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u^{2} - 1 u) - 50 u + 25$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (x + 5) (x - 5) + u (2 u - 1) - 25 (2 u - 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u - 1) (u - 25)$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 25)$

Schritt 9

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 5^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) ((x + 5) (x - 5))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

Schritt 11

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ heraus.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $- x (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

Schritt 11.2

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $(2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$

Schritt 11.3

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x + 5) (x - 5) (- x + 2 x^{2} - 1)$

Schritt 12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 5) (x - 5) (- u + 2 u^{2} - 1)$

Schritt 13

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 13.1

Stelle die Terme um.

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - u - 1)$

Schritt 13.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - (u) - 1)$

Schritt 13.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

Schritt 13.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

Schritt 13.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 13.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 5) (x - 5) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

Schritt 13.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 5) (x - 5) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

Schritt 13.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(x + 5) (x - 5) ((2 u + 1) (u - 1))$

Schritt 14

Faktorisiere.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 5) (x - 5) ((2 x + 1) (x - 1))$

Schritt 14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 5) (x - 5) (2 x + 1) (x - 1)$