Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Schritt 2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} - 25 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x (x^{2}) - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 25 x$ heraus.

$- x (x^{2}) - x (25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (25)$ heraus.

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ und deren Summe gleich $b = 49$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $49$ aus $49 u$ heraus.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25$

Schritt 5.1.2

Schreibe $49$ um als $- 1$ plus $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x (x^{2} + 25) + (2 u^{2} - 1 u) + 50 u - 25$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1)$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25)$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $- x (x^{2} + 25)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1)$

Schritt 8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1)$

Schritt 9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1)$

Schritt 9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1)$

Schritt 9.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

Schritt 9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

Schritt 9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

Schritt 9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

Schritt 9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1)$