Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x - 8$

Schritt 1

Faktorisiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x - 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Schritt 1.3

Setze $- 0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $- 0.5$ in das Polynom ein.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 3 {(- 0.5)}^{2} - 18 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 18 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.125$ .

$- 0.25 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 18 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 1.3.4

Potenziere $- 0.5$ mit $2$ .

$- 0.25 - 3 \cdot 0.25 - 18 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.25$ .

$- 0.25 - 0.75 - 18 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 1.3.6

Subtrahiere $0.75$ von $- 0.25$ .

$- 1 - 18 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 0.5$ .

$- 1 + 9 - 8$

Schritt 1.3.8

Addiere $- 1$ und $9$ .

$8 - 8$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $- 0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x - 8}{2 x + 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x - 8$ durch $2 x + 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$8$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$16 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$16 x$	-	$8$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$16 x$	-	$8$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$16 x$	-	$8$
							-	$16 x$	-	$8$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 16 x - 8$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$16 x$	-	$8$
							+	$16 x$	+	$8$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$18 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$16 x$	-	$8$
							+	$16 x$	+	$8$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x - 8$

Schritt 1.6

Schreibe $2 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x - 8$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x + 1) (x^{2} - 2 x - 8)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(2 x + 1) ((x - 4) (x + 2))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 1) (x - 4) (x + 2)$