Elementarmathematik Beispiele

$x - 12 \sqrt{x} + 36 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $- 12 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 \sqrt{x} + 36 = - x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 \sqrt{x} = - x - 36$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 12 \sqrt{x})}^{2} = {(- x - 36)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 12 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 36)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- 12 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 12)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 36)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$144 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 36)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 36)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 36)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$144 x^{1} = {(- x - 36)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$144 x = {(- x - 36)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- x - 36)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- x - 36)}^{2}$ als $(- x - 36) (- x - 36)$ um.

$144 x = (- x - 36) (- x - 36)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- x - 36) (- x - 36)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$144 x = - x (- x - 36) - 36 (- x - 36)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$144 x = - x (- x) - x \cdot - 36 - 36 (- x - 36)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$144 x = - x (- x) - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$144 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$144 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$144 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$144 x = 1 x^{2} - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$144 x = x^{2} - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 1$ .

$144 x = x^{2} + 36 x - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$144 x = x^{2} + 36 x + 36 x - 36 \cdot - 36$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 36$ .

$144 x = x^{2} + 36 x + 36 x + 1296$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $36 x$ und $36 x$ .

$144 x = x^{2} + 72 x + 1296$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 72 x + 1296 = 144 x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $144 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 72 x + 1296 - 144 x = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $144 x$ von $72 x$ .

$x^{2} - 72 x + 1296 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $1296$ als $36^{2}$ um.

$x^{2} - 72 x + 36^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$72 x = 2 \cdot x \cdot 36$

Schritt 4.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 36 + 36^{2} = 0$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 36$ .

${(x - 36)}^{2} = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 36$ gleich $0$ .

$x - 36 = 0$

Schritt 4.5

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 36$