Elementarmathematik Beispiele

$\tan (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- \frac{π}{6})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{π}{6})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$x = 2 \frac{- π}{6}$

Schritt 4.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Schritt 4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- π}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6} - π$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{6}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{6} - π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{5 π}{2 (3)}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Schritt 8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{x}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$