Elementarmathematik Beispiele

$\tan (x) = 5 \sin (x)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (x) = 5 \sin (x)$ durch $\tan (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (x) = 5 \sin (x)$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{5 \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{5 \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{5 \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Separiere Brüche.

$1 = \frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 = \frac{5}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 1.3.4

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$1 = \frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{5}{1} \cos (x)$

Schritt 1.3.6

Dividiere $5$ durch $1$ .

$1 = 5 \cos (x)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $5 \cos (x) = 1$ um.

$5 \cos (x) = 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (x) = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (x) = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{5}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{5})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arccos (\frac{1}{5})$ .

$x = 1.3694384$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3694384$

Schritt 7

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.3694384$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3694384$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1.3694384$ von $6.2831853$ .

$x = 4.9137469$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.3694384 + 2 π n, 4.9137469 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$