Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x + 4) - \ln (x) = 5$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 4}{x}) = 5$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\frac{x + 4}{x}) = 5$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{5} = \frac{x + 4}{x}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 4 = e^{5} (x)$

Schritt 4

Multipliziere $e^{5}$ mit $x$ .

$x + 4 = e^{5} x$

Schritt 5

Subtrahiere $e^{5} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 4 - e^{5} x = 0$

Schritt 6

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - e^{5} x = - 4$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x - e^{5} x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - e^{5} x = - 4$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $- e^{5} x$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- e^{5}) = - 4$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- e^{5})$ heraus.

$x (1 - e^{5}) = - 4$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - e^{5}) = - 4$ durch $1 - e^{5}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - e^{5}) = - 4$ durch $1 - e^{5}$ .

$\frac{x (1 - e^{5})}{1 - e^{5}} = \frac{- 4}{1 - e^{5}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e^{5}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - e^{5})}{1 - e^{5}} = \frac{- 4}{1 - e^{5}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{1 - e^{5}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{1 - e^{5}}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{4}{1 - e^{5}}$

Dezimalform:

$x = 0.02713461 \dots$