Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) - \log (x + 1) = - 1$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{x + 1}) = - 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (\frac{x}{x + 1}) = - 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{- 1} = \frac{x}{x + 1}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x = 10^{- 1} (x + 1)$

Schritt 4

Vereinfache $10^{- 1} (x + 1)$ .

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{10} (x + 1)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{10} x + \frac{1}{10} \cdot 1$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $x$ .

$x = \frac{x}{10} + \frac{1}{10} \cdot 1$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $1$ .

$x = \frac{x}{10} + \frac{1}{10}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{x}{10}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - \frac{x}{10} = \frac{1}{10}$

Schritt 5.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$x \cdot \frac{10}{10} - \frac{x}{10} = \frac{1}{10}$

Schritt 5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x \cdot 10}{10} - \frac{x}{10} = \frac{1}{10}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 10 - x}{10} = \frac{1}{10}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{10 \cdot x - x}{10} = \frac{1}{10}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $x$ von $10 x$ .

$\frac{9 x}{10} = \frac{1}{10}$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten mit $10$ .

$\frac{9 x}{10} \cdot 10 = \frac{1}{10} \cdot 10$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{10} \cdot 10 = \frac{1}{10} \cdot 10$

Schritt 7.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x = \frac{1}{10} \cdot 10$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x = \frac{1}{10} \cdot 10$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x = 1$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{9}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{1}$