Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) + \log (x - 2) = \log (3 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x - 2)) = \log (3 x)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2) = \log (3 x)$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 2) = \log (3 x)$

Schritt 1.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (x^{2} - 2 x) = \log (3 x)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - 2 x = 3 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 3 x = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 5 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 5 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 5$ heraus.

$x (x - 5) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 5$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x) + \log (x - 2) = \log (3 x)$ nicht erfüllen.

$x = 5$