Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x} = \frac{1}{216}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x})$ als $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2}) + \ln (216^{3 x})$ um.

$\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2}) + \ln (216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2})$ durch Herausziehen von $3 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 2) \ln (\frac{1}{6}) + \ln (216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (216^{3 x})$ durch Herausziehen von $3 x$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 2) \ln (\frac{1}{6}) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 2.4

Schreibe $\ln (\frac{1}{6})$ als $\ln (1) - \ln (6)$ um.

$(3 x + 2) (\ln (1) - \ln (6)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 2.5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$(3 x + 2) (0 - \ln (6)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 2.6

Schreibe $\ln (6)$ als $\ln (2 (3))$ um.

$(3 x + 2) (0 - \ln (2 (3))) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 2.7

Schreibe $\ln (2 (3))$ als $\ln (2) + \ln (3)$ um.

$(3 x + 2) (0 - (\ln (2) + \ln (3))) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 2) (0 - \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 2.9

Subtrahiere $\ln (2)$ von $0$ .

$(3 x + 2) (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $(3 x + 2) (- \ln (2) - \ln (3))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (- \ln (2) - \ln (3)) + 2 (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (- \ln (2)) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (- \ln (2)) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x \ln (2) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 3.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Bewege $- 2 \ln (3)$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (3) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 4.2

Bewege $- 2 \ln (2)$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - \ln (\frac{1}{216}) = 0$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Addiere $2 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (3) - \ln (\frac{1}{216}) = 2 \ln (2)$

Schritt 6.2

Addiere $2 \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - \ln (\frac{1}{216}) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Schritt 6.3

Addiere $\ln (\frac{1}{216})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 7

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x \ln (2)$ heraus.

$3 x (- 1 \ln (2)) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 7.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x \ln (3)$ heraus.

$3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 7.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x \ln (216)$ heraus.

$3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 7.4

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3))$ heraus.

$3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 7.5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216)$ heraus.

$3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 8

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$3 x (- \ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 9

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$ durch $3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$ durch $3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))$ .

$\frac{3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 10.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}{- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)} = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)$ .

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 10.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Dezimalform:

$x = - 0.1\overline{6}$