Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{b} = \frac{1}{x + b} + \frac{1}{x - b}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$b, x + b, x - b$

Schritt 1.2

Since $b, x + b, x - b$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Schritte, um das kgV für $b, x + b, x - b$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $b^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $x + b, x - b$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.6

Der Teiler von $b^{1}$ ist $b$ selbst.

$b^{1} = b$

$b$ occurs $1$ time.

Schritt 1.7

Das kgV von $b^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$b$

Schritt 1.8

Der Teiler von $x + b$ ist $x + b$ selbst.

$(x + b) = x + b$

$(x + b)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.9

Der Teiler von $x - b$ ist $x - b$ selbst.

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.10

Das kgV von $x + b, x - b$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + b) (x - b)$

Schritt 1.11

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$b (x + b) (x - b)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{b} = \frac{1}{x + b} + \frac{1}{x - b}$ mit $b (x + b) (x - b)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{b} = \frac{1}{x + b} + \frac{1}{x - b}$ mit $b (x + b) (x - b)$ .

$\frac{1}{b} (b (x + b) (x - b)) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $b$ aus $b (x + b) (x - b)$ heraus.

$\frac{1}{b} (b ((x + b) (x - b))) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{b} (b ((x + b) (x - b))) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$(x + b) (x - b) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(x + b) (x - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - b) + b (x - b) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- b) + b (x - b) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- b) + b x + b (- b) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x (- b) + b x + b (- b)$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x (- b)$ und $b x$ neu an.

$x \cdot x - b x + b x + b (- b) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.3.1.2

Addiere $- b x$ und $b x$ .

$x \cdot x + 0 + b (- b) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.3.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$x \cdot x + b (- b) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + b (- b) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - b \cdot b = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.3.2.3

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.2.3.1

Bewege $b$ .

$x^{2} - (b \cdot b) = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$x^{2} - b^{2} = \frac{1}{x + b} (b (x + b) (x - b)) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + b$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $x + b$ aus $b (x + b) (x - b)$ heraus.

$x^{2} - b^{2} = \frac{1}{x + b} ((x + b) (b (x - b))) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - b^{2} = \frac{1}{x + b} ((x + b) (b (x - b))) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - b^{2} = b (x - b) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - b^{2} = b x + b (- b) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - b^{2} = b x - b \cdot b + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.4.1

Bewege $b$ .

$x^{2} - b^{2} = b x - (b \cdot b) + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$x^{2} - b^{2} = b x - b^{2} + \frac{1}{x - b} (b (x + b) (x - b))$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - b$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $x - b$ aus $b (x + b) (x - b)$ heraus.

$x^{2} - b^{2} = b x - b^{2} + \frac{1}{x - b} ((x - b) (b (x + b)))$

Schritt 2.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - b^{2} = b x - b^{2} + \frac{1}{x - b} ((x - b) (b (x + b)))$

Schritt 2.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - b^{2} = b x - b^{2} + b (x + b)$

Schritt 2.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - b^{2} = b x - b^{2} + b x + b \cdot b$

Schritt 2.3.1.7

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$x^{2} - b^{2} = b x - b^{2} + b x + b^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $b x - b^{2} + b x + b^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Addiere $- b^{2}$ und $b^{2}$ .

$x^{2} - b^{2} = b x + b x + 0$

Schritt 2.3.2.1.2

Addiere $b x + b x$ und $0$ .

$x^{2} - b^{2} = b x + b x$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $b x$ und $b x$ .

$x^{2} - b^{2} = 2 b x$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $2 b x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - b^{2} - 2 b x = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 2 x$ und $c = x^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $b$ auf.

$\frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Füge Klammern hinzu.

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.2

Es sei $u = - 1 \cdot x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $- 1 \cdot x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.4.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - u)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.4

Ersetze alle $u$ durch $- 1 \cdot x^{2}$ .

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (- 1 \cdot x^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.5.1.1

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} + x^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.5.1.2

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} + 1 x^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} + x^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.5.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (2 x^{2})}}{2 \cdot - 1}$

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 \cdot (2 x^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{8 x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.7

Schreibe $8 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (2) x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 x^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.7.3

Bewege $2$ .

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} x^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.7.4

Schreibe $2^{2} x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$b = \frac{2 x \pm \sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{2 x \pm 2 x \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$b = \frac{2 x \pm 2 x \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{2 x \pm 2 x \sqrt{2}}{- 2}$ .

$b = \frac{x \pm x \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 3.4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x \pm x \sqrt{2}}{- 1}$ .

$b = - 1 \cdot (x \pm x \sqrt{2})$

Schritt 3.4.5

Schreibe $- 1 \cdot (x \pm x \sqrt{2})$ als $- (x \pm x \sqrt{2})$ um.

$b = - (x \pm x \sqrt{2})$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$b = - x - x \sqrt{2}$

$b = - x + x \sqrt{2}$

$b = - x - x \sqrt{2}$

$b = - x + x \sqrt{2}$