Elementarmathematik Beispiele

$81 y^{4} + 1 = 18 y^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $18 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$81 y^{4} + 1 - 18 y^{2} = 0$

Schritt 2

Setze $u = y^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$81 u^{2} - 18 u + 1 = 0$

$u = y^{2}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $81 u^{2}$ als ${(9 u)}^{2}$ um.

${(9 u)}^{2} - 18 u + 1 = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(9 u)}^{2} - 18 u + 1^{2} = 0$

Schritt 3.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$18 u = 2 \cdot (9 u) \cdot 1$

Schritt 3.4

Schreibe das Polynom neu.

${(9 u)}^{2} - 2 \cdot (9 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 9 u$ und $b = 1$ .

${(9 u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $9 u - 1$ gleich $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 u = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $9 u = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 u = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Schritt 6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = y^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$y^{2} = \frac{1}{9}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Schritt 7.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm \frac{1}{3}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$y = 0.\overline{3}, - 0.\overline{3}$