Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 3 x^{3} = 81 + 18 x - 5 x^{3}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $18 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x = 81 - 5 x^{3}$

Schritt 1.2

Addiere $5 x^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x + 5 x^{3} = 81$

Schritt 1.3

Addiere $- 3 x^{3}$ und $5 x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x = 81$

Schritt 2

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x - 81 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 9^{2} + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Schritt 3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 9) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Schritt 3.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 18 x$ heraus.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 18 x$ heraus.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 3.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 3.8

Faktorisiere.

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Schritt 3.8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 3.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 3.9

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 3.9.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $2 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x) = 0$

Schritt 3.9.3

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9 + 2 x) = 0$

Schritt 3.10

Stelle die Terme um.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Setze $x^{2} + 2 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{2} + 2 x + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{2} + 2 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 32$ als $- 1 (32)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (32)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.7

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$