Elementarmathematik Beispiele

${(1 + \frac{1}{x})}^{2} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ als $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ um.

$(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3.1.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3.1.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3.2

Addiere $\frac{1}{x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.5

Schreibe ${(1 - \frac{1}{x})}^{2}$ als $(1 - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x})$ um.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - ((1 - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x}))$

Schritt 1.6

Multipliziere $(1 - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 (1 - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} (1 - \frac{1}{x}))$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} (1 - \frac{1}{x}))$

Schritt 1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Schritt 1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $- \frac{1}{x}$ mit $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Schritt 1.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Schritt 1.7.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$ .

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Schritt 1.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} \frac{1}{x})$

Schritt 1.7.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.7.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x})$

Schritt 1.7.1.4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x})$

Schritt 1.7.1.4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}})$

Schritt 1.7.1.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}})$

Schritt 1.7.1.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von $- \frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 1 - - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 - - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.10.2

Multipliziere $- - \frac{2}{x}$ .

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Schritt 1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.10.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 0 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Addiere $\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Subtrahiere $\frac{1}{x^{2}}$ von $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x} + \frac{2}{x} + 0$

Schritt 2.1.4

Addiere $\frac{2}{x} + \frac{2}{x}$ und $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 2}{x}$

Schritt 2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4}{x}$