Elementarmathematik Beispiele

$\csc (u) - \cot (u) = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\csc (u)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (u)} - \cot (u) = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\cot (u)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin (u)} - \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (u)$ .

$\sin (u) (\frac{1}{\sin (u)} - \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (u) \frac{1}{\sin (u)} + \sin (u) (- \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (u)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (u) \frac{1}{\sin (u)} + \sin (u) (- \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \sin (u) (- \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - \sin (u) \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (u)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sin (u)$ aus $- \sin (u)$ heraus.

$1 + \sin (u) \cdot - 1 \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \sin (u) \cdot - 1 \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - \cos (u) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 7

Multipliziere $\sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ .

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Schritt 7.1

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$1 - \cos (u) = \frac{\sin (u) \sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 7.2

Potenziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$1 - \cos (u) = \frac{\sin^{1} (u) \sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 7.3

Potenziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$1 - \cos (u) = \frac{\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \cos (u) = \frac{{\sin (u)}^{1 + 1}}{1 + \cos (u)}$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \cos (u) = \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 8

Subtrahiere $\frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 - \cos (u) - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9

Vereinfache $1 - \cos (u) - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)}$ .

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Schritt 9.1

Um $- \cos (u)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$1 - \cos (u) \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.2

Kombiniere $- \cos (u)$ und $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$1 + \frac{- \cos (u) (1 + \cos (u))}{1 + \cos (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{- \cos (u) (1 + \cos (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{- \cos (u) \cdot 1 - \cos (u) \cos (u) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - \cos (u) \cos (u) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.3

Multipliziere $- \cos (u) \cos (u)$ .

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Schritt 9.4.1.3.1

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{1} (u) \cos (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.3.2

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{- \cos (u) - {\cos (u)}^{1 + 1} - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (u)$ heraus.

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{2} (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (u)$ heraus.

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{2} (u)) - (\sin^{2} (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos^{2} (u)) - (\sin^{2} (u))$ heraus.

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{2} (u) + \sin^{2} (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.7

Ordne Terme um.

$1 + \frac{- \cos (u) - (\sin^{2} (u) + \cos^{2} (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{- \cos (u) - 1 \cdot 1}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - 1}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (u) - 1$ heraus.

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Schritt 9.4.1.10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (u)$ heraus.

$1 + \frac{- (\cos (u)) - 1}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.10.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$1 + \frac{- (\cos (u)) - 1 (1)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.1.10.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (u)) - 1 (1)$ heraus.

$1 + \frac{- (\cos (u) + 1)}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (u) + 1$ und $1 + \cos (u)$ .

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Schritt 9.4.2.1

Stelle die Terme um.

$1 + \frac{- (1 + \cos (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{- (1 + \cos (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Schritt 9.4.2.3

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - 1 = 0$

Schritt 9.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 = 0$

Schritt 10

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $u$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$