Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x} = 4$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{4 - x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{4 + x} = 4 - \sqrt{4 - x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 + x}}^{2} = {(4 - \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 + x}$ als ${(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(4 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 + x)}^{1} = {(4 - \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$4 + x = {(4 - \sqrt{4 - x})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(4 - \sqrt{4 - x})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(4 - \sqrt{4 - x})}^{2}$ als $(4 - \sqrt{4 - x}) (4 - \sqrt{4 - x})$ um.

$4 + x = (4 - \sqrt{4 - x}) (4 - \sqrt{4 - x})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(4 - \sqrt{4 - x}) (4 - \sqrt{4 - x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 + x = 4 (4 - \sqrt{4 - x}) - \sqrt{4 - x} (4 - \sqrt{4 - x})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 + x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{4 - x}) - \sqrt{4 - x} (4 - \sqrt{4 - x})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 + x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{4 - x}) - \sqrt{4 - x} \cdot 4 - \sqrt{4 - x} (- \sqrt{4 - x})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$4 + x = 16 + 4 (- \sqrt{4 - x}) - \sqrt{4 - x} \cdot 4 - \sqrt{4 - x} (- \sqrt{4 - x})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - \sqrt{4 - x} \cdot 4 - \sqrt{4 - x} (- \sqrt{4 - x})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} - \sqrt{4 - x} (- \sqrt{4 - x})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{4 - x} (- \sqrt{4 - x})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + 1 \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} \sqrt{4 - x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{4 - x}$ mit $1$ .

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} {\sqrt{4 - x}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ als $4 - x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$4 + x = 16 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} + 4 - x$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $16$ und $4$ .

$4 + x = 20 - 4 \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{4 - x} - x$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $4 \sqrt{4 - x}$ von $- 4 \sqrt{4 - x}$ .

$4 + x = 20 - 8 \sqrt{4 - x} - x$

Schritt 4

Löse nach $- 8 \sqrt{4 - x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $20 - 8 \sqrt{4 - x} - x = 4 + x$ um.

$20 - 8 \sqrt{4 - x} - x = 4 + x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 8 \sqrt{4 - x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 \sqrt{4 - x} - x = 4 + x - 20$

Schritt 4.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 \sqrt{4 - x} = 4 + x - 20 + x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$- 8 \sqrt{4 - x} = x - 16 + x$

Schritt 4.2.4

Addiere $x$ und $x$ .

$- 8 \sqrt{4 - x} = 2 x - 16$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 8 \sqrt{4 - x})}^{2} = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 8 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 8 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 8 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 8)}^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$64 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$64 {(4 - x)}^{1} = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$64 (4 - x) = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$64 \cdot 4 + 64 (- x) = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $64$ mit $4$ .

$256 + 64 (- x) = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$256 - 64 x = {(2 x - 16)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(2 x - 16)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(2 x - 16)}^{2}$ als $(2 x - 16) (2 x - 16)$ um.

$256 - 64 x = (2 x - 16) (2 x - 16)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(2 x - 16) (2 x - 16)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$256 - 64 x = 2 x (2 x - 16) - 16 (2 x - 16)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$256 - 64 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 16 - 16 (2 x - 16)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$256 - 64 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 16 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$256 - 64 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 16 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$256 - 64 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 16 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$256 - 64 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 16 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$256 - 64 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 16 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$256 - 64 x = 4 x^{2} - 32 x - 16 (2 x) - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$256 - 64 x = 4 x^{2} - 32 x - 32 x - 16 \cdot - 16$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 16$ .

$256 - 64 x = 4 x^{2} - 32 x - 32 x + 256$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $32 x$ von $- 32 x$ .

$256 - 64 x = 4 x^{2} - 64 x + 256$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 64 x + 256 = 256 - 64 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $64 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 64 x + 256 + 64 x = 256$

Schritt 7.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 64 x + 256 + 64 x$ .

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 64 x$ und $64 x$ .

$4 x^{2} + 0 + 256 = 256$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$4 x^{2} + 256 = 256$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $256$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 256 - 256$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $256$ von $256$ .

$4 x^{2} = 0$

Schritt 7.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.4.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 7.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.6

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.6.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.6.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$