Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{9}{4})}^{x} = 5^{1 - x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({(\frac{9}{4})}^{x}) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{9}{4})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (\frac{9}{4}) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{9}{4})$ als $\ln (9) - \ln (4)$ um.

$x (\ln (9) - \ln (4)) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 4

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$x (\ln (9) - \ln (2^{2})) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x (\ln (9) - (2 \ln (2))) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = \ln (5^{1 - x})$

Schritt 7

Zerlege $\ln (5^{1 - x})$ durch Herausziehen von $1 - x$ aus dem Logarithmus.

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $x (\ln (9) - 2 \ln (2))$ .

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Schritt 8.1.1

Forme um.

$0 + 0 + x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 8.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (9) + x (- 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 8.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) = (1 - x) \ln (5)$

Schritt 8.2

Vereinfache $(1 - x) \ln (5)$ .

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) = 1 \ln (5) - x \ln (5)$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) = \ln (5) - x \ln (5)$

Schritt 8.3

Addiere $x \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (5)$

Schritt 8.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (9) - 2 x \ln (2) + x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (9)$ heraus.

$x (\ln (9)) - 2 x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (5)$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (9)) + x (- 2 \ln (2)) + x \ln (5) = \ln (5)$

Schritt 8.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (9)) + x (- 2 \ln (2)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Schritt 8.4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (9)) + x (- 2 \ln (2))$ heraus.

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Schritt 8.4.5

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (9) - 2 \ln (2)) + x (\ln (5))$ heraus.

$x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)) = \ln (5)$

Schritt 8.5

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)) = \ln (5)$ durch $\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)) = \ln (5)$ durch $\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5))}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Schritt 8.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)$ .

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Schritt 8.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5))}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Schritt 8.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0.66495583 \dots$