Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

Schritt 1

Schreibe in Exponentialform.

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Schritt 1.1

Für logarithmische Gleichungen ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ mit $x > 0$ , $b > 0$ , and $b \neq 1$ . In diesem Fall: $b = 3$ , $x = {(x - 1)}^{2}$ und $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

Schritt 1.2

Setze die Werte von $b$ , $x$ , und $y$ in die Gleichung $b^{y} = x$ ein.

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ um.

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

Schritt 2.2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| x - 1 | = | 3 |$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

Schritt 2.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

Schritt 2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 1 = 3$

Schritt 2.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 + 1$

Schritt 2.3.3.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x = 4$

Schritt 2.3.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 1 = - 3$

Schritt 2.3.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3 + 1$

Schritt 2.3.3.4.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$x = - 2$

Schritt 2.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 2$