Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} = 5$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{x} - 3^{- x} = 5 \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$3^{x} - 3^{- x} = 20$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe $3^{- x}$ als Potenz um.

$3^{x} - {(3^{x})}^{- 1} = 20$

Schritt 3.2

Ersetze $3^{x}$ durch $u$ .

$u - u^{- 1} = 20$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 20$

Schritt 3.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 3.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 3.4.2

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} = 20$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} = 20$ mit $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 20 u$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 20 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{u}$ in den Zähler.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} - 1 = 20 u$

Schritt 3.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Subtrahiere $20 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 1 - 20 u = 0$

Schritt 3.4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 20$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.3.4.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.4.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.3

Addiere $400$ und $4$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{404}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.4

Schreibe $404$ als $2^{2} \cdot 101$ um.

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Schritt 3.4.3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $404$ heraus.

$u = \frac{20 \pm \sqrt{4 (101)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 101}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$

Schritt 3.4.3.4.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$ .

$u = 10 \pm \sqrt{101}$

Schritt 3.4.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 10 + \sqrt{101}, 10 - \sqrt{101}$

Schritt 3.5

Setze $10 + \sqrt{101}$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$10 + \sqrt{101} = 3^{x}$

Schritt 3.6

Löse $10 + \sqrt{101} = 3^{x}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 10 + \sqrt{101}$ um.

$3^{x} = 10 + \sqrt{101}$

Schritt 3.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (10 + \sqrt{101})$

Schritt 3.6.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$

Schritt 3.6.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Schritt 3.6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 3.6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Schritt 3.6.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Schritt 3.7

Setze $10 - \sqrt{101}$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$10 - \sqrt{101} = 3^{x}$

Schritt 3.8

Löse $10 - \sqrt{101} = 3^{x}$ .

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Schritt 3.8.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 10 - \sqrt{101}$ um.

$3^{x} = 10 - \sqrt{101}$

Schritt 3.8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (10 - \sqrt{101})$

Schritt 3.8.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (10 - \sqrt{101})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.8.4

Es gibt keine Lösung für $3^{x} = 10 - \sqrt{101}$

Keine Lösung

Schritt 3.9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Dezimalform:

$x = 2.72910013 \dots$