Elementarmathematik Beispiele

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (2 x) = - 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 6

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$