Elementarmathematik Beispiele

$5 \sqrt{n} = n - 6$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(5 \sqrt{n})}^{2} = {(n - 6)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{n}$ als $n^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(5 n^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(n - 6)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(5 n^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 n^{\frac{1}{2}}$ an.

$5^{2} {(n^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(n - 6)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$25 {(n^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(n - 6)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(n^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(n - 6)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(n - 6)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$25 n^{1} = {(n - 6)}^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$25 n = {(n - 6)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(n - 6)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(n - 6)}^{2}$ als $(n - 6) (n - 6)$ um.

$25 n = (n - 6) (n - 6)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(n - 6) (n - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 n = n (n - 6) - 6 (n - 6)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 n = n \cdot n + n \cdot - 6 - 6 (n - 6)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 n = n \cdot n + n \cdot - 6 - 6 n - 6 \cdot - 6$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$25 n = n^{2} + n \cdot - 6 - 6 n - 6 \cdot - 6$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $n$ .

$25 n = n^{2} - 6 \cdot n - 6 n - 6 \cdot - 6$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$25 n = n^{2} - 6 n - 6 n + 36$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $6 n$ von $- 6 n$ .

$25 n = n^{2} - 12 n + 36$

Schritt 3

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 3.1

Da $n$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$n^{2} - 12 n + 36 = 25 n$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $n$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $25 n$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n^{2} - 12 n + 36 - 25 n = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $25 n$ von $- 12 n$ .

$n^{2} - 37 n + 36 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $n^{2} - 37 n + 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $36$ und deren Summe $- 37$ ist.

$- 36, - 1$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(n - 36) (n - 1) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$n - 36 = 0$

$n - 1 = 0$

Schritt 3.5

Setze $n - 36$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $n - 36$ gleich $0$ .

$n - 36 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n = 36$

Schritt 3.6

Setze $n - 1$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $n - 1$ gleich $0$ .

$n - 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n = 1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(n - 36) (n - 1) = 0$ wahr machen.

$n = 36, 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $5 \sqrt{n} = n - 6$ nicht erfüllen.

$n = 36$