Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} - 81 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 81 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 81 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ heraus.

$x (x^{4} - 81) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Schritt 1.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 4.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$