Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{2 \sqrt{7 x + 2}} = \sqrt{4 x + 2}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 \sqrt{7 x + 2}}}^{2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 \sqrt{7 x + 2}}$ als ${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{1} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${\sqrt{4 x + 2}}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 2$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {\sqrt{2 (2 x) + 2}}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {\sqrt{2 (2 x) + 2 (1)}}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (1)$ heraus.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {\sqrt{2 (2 x + 1)}}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2 (2 x + 1)}}^{2}$ als $2 (2 x + 1)$ um.

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Schritt 2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (2 x + 1)}$ als ${(2 (2 x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {({(2 (2 x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = {(2 (2 x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = {(2 (2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {(2 (2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {(2 (2 x + 1))}^{1}$

Schritt 2.3.1.2.5

Vereinfache.

$2 \sqrt{7 x + 2} = 2 (2 x + 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{7 x + 2} = 2 (2 x) + 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere.

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Schritt 2.3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = 4 x + 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = 4 x + 2$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x + 2}$ als ${(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(7 x + 2)}^{1} = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache.

$4 (7 x + 2) = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (7 x) + 4 \cdot 2 = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$28 x + 4 \cdot 2 = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$28 x + 8 = {(4 x + 2)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(4 x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(4 x + 2)}^{2}$ als $(4 x + 2) (4 x + 2)$ um.

$28 x + 8 = (4 x + 2) (4 x + 2)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(4 x + 2) (4 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$28 x + 8 = 4 x (4 x + 2) + 2 (4 x + 2)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$28 x + 8 = 4 x (4 x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x + 2)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$28 x + 8 = 4 x (4 x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$28 x + 8 = 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$28 x + 8 = 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$28 x + 8 = 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 8 x + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 8 x + 8 x + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 8 x + 8 x + 4$

Schritt 4.3.1.3.2

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 16 x + 4$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 x^{2} + 16 x + 4 = 28 x + 8$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $28 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} + 16 x + 4 - 28 x = 8$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $28 x$ von $16 x$ .

$16 x^{2} - 12 x + 4 = 8$

Schritt 5.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 12 x + 4 - 8 = 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$16 x^{2} - 12 x - 4 = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2} - 12 x - 4$ heraus.

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Schritt 5.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$4 (4 x^{2}) - 12 x - 4 = 0$

Schritt 5.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x$ heraus.

$4 (4 x^{2}) + 4 (- 3 x) - 4 = 0$

Schritt 5.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (4 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (- 1) = 0$

Schritt 5.5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ heraus.

$4 (4 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1) = 0$

Schritt 5.5.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1)$ heraus.

$4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 5.5.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 5.5.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$4 (4 x^{2} + (1 - 4) x - 1) = 0$

Schritt 5.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1) = 0$

Schritt 5.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 (4 x^{2} + x - 4 x - 1) = 0$

Schritt 5.5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 ((4 x^{2} + x) - 4 x - 1) = 0$

Schritt 5.5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 (x (4 x + 1) - (4 x + 1)) = 0$

Schritt 5.5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 1$ .

$4 ((4 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 5.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 5.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.7

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 5.7.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 5.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.8

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, 1$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{4}, 1$

Dezimalform:

$x = - 0.25, 1$