Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $2 \log_{4} (x + 4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$

Schritt 3

Schreibe $\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

${(x + 4)}^{2} = 4 (x + 12)$

Schritt 5

Vereinfache $4 (x + 12)$ .

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 4 \cdot 12$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 48$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 4)}^{2} - 4 x = 48$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$(x + 4) (x + 4) - 4 x = 48$

Schritt 6.2.2

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 4) + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Schritt 6.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Schritt 6.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Schritt 6.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Schritt 6.2.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Schritt 6.2.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 x + 16 - 4 x = 48$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$x^{2} + 8 x + 16 - 4 x = 48$

Schritt 6.3

Subtrahiere $4 x$ von $8 x$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 48$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x = 48 - 16$

Schritt 7.2

Subtrahiere $16$ von $48$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Schritt 8

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 32$ und deren Summe $4$ ist.

$- 4, 8$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 11

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 12

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 8$

Schritt 14

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$ nicht erfüllen.

$x = 4$