Elementarmathematik Beispiele

$16^{x} - 7 \cdot 4^{x} + 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $16^{x}$ als ${(4^{2})}^{x}$ um.

${(4^{2})}^{x} - 7 \cdot 4^{x} + 6 = 0$

Schritt 1.2

Schreibe ${(4^{2})}^{x}$ als ${(4^{x})}^{2}$ um.

${(4^{x})}^{2} - 7 \cdot 4^{x} + 6 = 0$

Schritt 1.3

Es sei $u = 4^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $4^{x}$ .

$u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $u^{2} - 7 u + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 6) (u - 1) = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $4^{x}$ .

$(4^{x} - 6) (4^{x} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4^{x} - 6 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $4^{x} - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $4^{x} - 6$ gleich $0$ .

$4^{x} - 6 = 0$

Schritt 3.2

Löse $4^{x} - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4^{x} = 6$

Schritt 3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{x}) = \ln (6)$

Schritt 3.2.3

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (4) = \ln (6)$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = \ln (6)$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = \ln (6)$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}$

Schritt 4

Setze $4^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $4^{x} - 1$ gleich $0$ .

$4^{x} - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4^{x} = 1$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Schritt 4.2.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = 0$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = 0$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 4.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.5.3.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Schritt 4.2.5.3.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.2.5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Schritt 4.2.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.5.3.4

Dividiere $0$ durch $\ln (2)$ .

$x = 0$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4^{x} - 6) (4^{x} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}, 0$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}, 0$

Dezimalform:

$x = 1.29248125 \dots, 0$