Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{5} (x) = \log_{5} (2) + \log_{5} (4 + 10)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{5} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} (x^{2}) = \log_{5} (2) + \log_{5} (4 + 10)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\log_{5} (2) + \log_{5} (4 + 10)$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x^{2}) = \log_{5} (2 (4 + 10))$

Schritt 2.1.2

Addiere $4$ und $10$ .

$\log_{5} (x^{2}) = \log_{5} (2 \cdot 14)$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$\log_{5} (x^{2}) = \log_{5} (28)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} = 28$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{28}$

Schritt 4.2

Vereinfache $\pm \sqrt{28}$ .

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Schritt 4.2.1

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (7)}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{7}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{7}$

Schritt 4.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{7}$

Schritt 4.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log_{5} (x) = \log_{5} (2) + \log_{5} (4 + 10)$ nicht erfüllen.

$x = 2 \sqrt{7}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2 \sqrt{7}$

Dezimalform:

$x = 5.29150262 \dots$