Elementarmathematik Beispiele

$2 e^{2 x} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$2 {(e^{x})}^{2} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 u$ heraus.

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 1$ plus $- 6$

$2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} - 1 u) - 6 u + 3 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 3) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $2 e^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 e^{x} - 1$ gleich $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 e^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 e^{x} = 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 e^{x} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 e^{x} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 4

Setze $e^{x} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $e^{x} - 3$ gleich $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $e^{x} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 3$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Schritt 4.2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Schritt 4.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (3)$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Dezimalform:

$x = - 0.69314718 \dots, 1.09861228 \dots$