Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{3} (x + 4) = \log_{3} (9) + 2$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log_{3} (x + 4) - \log_{3} (9) = 2$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Die logarithmische Basis $3$ von $9$ ist $2$ .

$2 \log_{3} (x + 4) - 1 \cdot 2 = 2$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \log_{3} (x + 4) - 2 = 2$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 \log_{3} (x + 4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} ({(x + 4)}^{2}) - 2 = 2$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $\log_{3} ({(x + 4)}^{2})$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{3} ({(x + 4)}^{2}) = 2 + 2$

Schritt 4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\log_{3} ({(x + 4)}^{2}) = 4$

Schritt 5

Schreibe $\log_{3} ({(x + 4)}^{2}) = 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{4} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als ${(x + 4)}^{2} = 3^{4}$ um.

${(x + 4)}^{2} = 3^{4}$

Schritt 6.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 4 = \pm \sqrt{3^{4}}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\pm \sqrt{3^{4}}$ .

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Schritt 6.3.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x + 4 = \pm \sqrt{81}$

Schritt 6.3.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x + 4 = \pm \sqrt{9^{2}}$

Schritt 6.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + 4 = \pm 9$

Schritt 6.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 4 = 9$

Schritt 6.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9 - 4$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = 5$

Schritt 6.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 4 = - 9$

Schritt 6.4.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9 - 4$

Schritt 6.4.4.2

Subtrahiere $4$ von $- 9$ .

$x = - 13$

Schritt 6.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 13$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log_{3} (x + 4) = \log_{3} (9) + 2$ nicht erfüllen.

$x = 5$