Elementarmathematik Beispiele

$2 x + 1 = \frac{5}{x + 2}$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{5}{x + 2} - 1$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x + 2, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$1, x + 2, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 2$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $2 x = \frac{5}{x + 2} - 1$ mit $x + 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x = \frac{5}{x + 2} - 1$ mit $x + 2$ .

$2 x (x + 2) = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 4 x = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + 4 x = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + 4 x = 5 - (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 4 x = 5 - x - 1 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 4 x = 5 - x - 2$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$2 x^{2} + 4 x = - x + 3$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 4 x + x = 3$

Schritt 4.1.2

Addiere $4 x$ und $x$ .

$2 x^{2} + 5 x = 3$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4.5

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Dezimalform:

$x = 0.5, - 3$