Elementarmathematik Beispiele

$2 x \ln (\frac{1}{x}) - x = 0$

Schritt 1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (\frac{1}{x}) = x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (\frac{1}{x}) = x$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (\frac{1}{x}) = x$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (\frac{1}{x})}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \ln (\frac{1}{x})}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (\frac{1}{x})}{x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (\frac{1}{x})}{x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\ln (\frac{1}{x})$ durch $1$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = \frac{x}{2 x}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{1}{x}) = \frac{x}{2 x}$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{1}{x}) = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4

Schreibe $\ln (\frac{1}{x}) = \frac{1}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{x}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{x} = e^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{1}{x} = e^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = e^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = e^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

$\frac{1}{x} x = e^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = e^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = e^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{1}{2}} x$ um.

$1 = x e^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Schreibe die Gleichung als $x e^{\frac{1}{2}} = 1$ um.

$x e^{\frac{1}{2}} = 1$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x e^{\frac{1}{2}} = 1$ durch $e^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x e^{\frac{1}{2}} = 1$ durch $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Dezimalform:

$x = 0.60653065 \dots$