Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ um.

$3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{4}}$ .

$3 u^{2} + 5 u - 2 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u$ heraus.

$3 u^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$3 u^{2} + (- 1 + 6) u - 2 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} - 1 u + 6 u - 2 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} - 1 u) + 6 u - 2 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(3 x^{\frac{1}{4}} - 1) (x^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Schritt 3

Setze $3 x^{\frac{1}{4}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 x^{\frac{1}{4}} - 1$ gleich $0$ .

$3 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{\frac{1}{4}} = 1$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{4}}$ an.

$3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

Schritt 3.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$81 x^{1} = 1^{4}$

Schritt 3.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$81 x = 1^{4}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$81 x = 1$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $81 x = 1$ durch $81$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $81 x = 1$ durch $81$ .

$\frac{81 x}{81} = \frac{1}{81}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 x}{81} = \frac{1}{81}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{81}$

Schritt 4

Setze $x^{\frac{1}{4}} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{\frac{1}{4}} + 2$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{4}} = - 2$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 2)}^{4}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$x = 16$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x^{\frac{1}{4}} - 1) (x^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{81}, 16$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1}{81}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{81}$

Dezimalform:

$x = 0.01234567 \dots$