Elementarmathematik Beispiele

$3 \sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$3 u^{2} - 8 u - 3 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 u$ heraus.

$3 u^{2} - 8 u - 3 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 8$ um als $1$ plus $- 9$

$3 u^{2} + (1 - 9) u - 3 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} + 1 u - 9 u - 3 = 0$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$3 u^{2} + u - 9 u - 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} + u) - 9 u - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 3) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $3 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (x) = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{3})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1}{3})$ .

$x = - 0.3398369$

Schritt 3.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 3.2.6.2

Der resultierende Winkel von $3.48142956$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 3.48142956$

Schritt 3.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.3398369$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.3398369 + 2 π$

Schritt 3.2.8.2

Subtrahiere $0.3398369$ von $2 π$ .

$5.94334839$

Schritt 3.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.94334839$

Schritt 3.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\sin (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x) - 3$ gleich $0$ .

$\sin (x) - 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = 3$

Schritt 4.2.2

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $3$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$