Elementarmathematik Beispiele

$2 + 13 \sin (x) = 14 \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $14 \cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Ersetze die $- 14 \cos^{2} (x)$ durch $- 14 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$2 + 13 \sin (x) - 14 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cdot 1 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 14$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $14$ von $2$ .

$13 \sin (x) - 12 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 5

Stelle das Polynom um.

$14 \sin^{2} (x) + 13 \sin (x) - 12 = 0$

Schritt 6

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$14 {(u)}^{2} + 13 (u) - 12 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 14 \cdot - 12 = - 168$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 u$ heraus.

$14 u^{2} + 13 u - 12 = 0$

Schritt 7.1.2

Schreibe $13$ um als $- 8$ plus $21$

$14 u^{2} + (- 8 + 21) u - 12 = 0$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 u (7 u - 4) + 3 (7 u - 4) = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 u - 4$ .

$(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 u - 4 = 0$

$2 u + 3 = 0$

Schritt 9

Setze $7 u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $7 u - 4$ gleich $0$ .

$7 u - 4 = 0$

Schritt 9.2

Löse $7 u - 4 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 9.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 u = 4$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 u = 4$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 u = 4$ durch $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{4}{7}$

Schritt 10

Setze $2 u + 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 u + 3$ gleich $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 u + 3 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = - 3$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{3}{2}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Schritt 12

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Schritt 13

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{4}{7}$

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Schritt 14

Löse in $\sin (x) = \frac{4}{7}$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{4}{7})$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{4}{7})$ .

$x = 0.60824557$

Schritt 14.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Schritt 14.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.60824557$

Schritt 14.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Schritt 14.4.3

Subtrahiere $0.60824557$ von $3.14159265$ .

$x = 2.53334707$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Löse in $\sin (x) = - \frac{3}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{3}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 16

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$