Elementarmathematik Beispiele

$2 \ln (x) = \ln (3) + \ln (x + 6)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{2}) = \ln (3) + \ln (x + 6)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\ln (3) + \ln (x + 6)$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (3 (x + 6))$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x^{2}) = \ln (3 x + 3 \cdot 6)$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (3 x + 18)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} = 3 x + 18$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x = 18$

Schritt 4.2

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4.5

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 3$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $2 \ln (x) = \ln (3) + \ln (x + 6)$ nicht erfüllen.

$x = 6$