Elementarmathematik Beispiele

$27 = 3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 27$ um.

$3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 27$

Schritt 2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3^{5 x} \cdot {(3^{2})}^{x^{2}} = 27$

Schritt 3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{5 x} \cdot 3^{2 x^{2}} = 27$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 27$

Schritt 5

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 3^{3}$

Schritt 6

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$5 x + 2 x^{2} = 3$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x + 2 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$5 u + 2 u^{2} - 3 = 0$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.2.2.1

Stelle die Terme um.

$2 u^{2} + 5 u - 3 = 0$

Schritt 7.2.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u$ heraus.

$2 u^{2} + 5 (u) - 3 = 0$

Schritt 7.2.2.2.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3 = 0$

Schritt 7.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3 = 0$

Schritt 7.2.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} - 1 u) + 6 u - 3 = 0$

Schritt 7.2.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1) = 0$

Schritt 7.2.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 3) = 0$

Schritt 7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 7.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 7.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 7.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 7.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Dezimalform:

$x = 0.5, - 3$