Elementarmathematik Beispiele

$4 = \sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x} = 4$ um.

$\sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x} = 4$

Schritt 2

Subtrahiere $\sqrt{31 - 3 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{- 6 - 2 x} = 4 - \sqrt{31 - 3 x}$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- 6 - 2 x}}^{2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 6 - 2 x}$ als ${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 6 - 2 x)}^{1} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$- 6 - 2 x = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$ als $(4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$ um.

$- 6 - 2 x = (4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 - 2 x = 4 (4 - \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 - 2 x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 - 2 x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 6 - 2 x = 16 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Schritt 4.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$ .

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Schritt 4.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + 1 \sqrt{31 - 3 x} \sqrt{31 - 3 x}$

Schritt 4.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{31 - 3 x}$ mit $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + \sqrt{31 - 3 x} \sqrt{31 - 3 x}$

Schritt 4.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{31 - 3 x}$ mit $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1} \sqrt{31 - 3 x}$

Schritt 4.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{31 - 3 x}$ mit $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1} {\sqrt{31 - 3 x}}^{1}$

Schritt 4.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1 + 1}$

Schritt 4.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{31 - 3 x}}^{2}$ als $31 - 3 x$ um.

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Schritt 4.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31 - 3 x}$ als ${(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{1}$

Schritt 4.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + 31 - 3 x$

Schritt 4.3.1.3.2

Addiere $16$ und $31$ .

$- 6 - 2 x = 47 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x$

Schritt 4.3.1.3.3

Subtrahiere $4 \sqrt{31 - 3 x}$ von $- 4 \sqrt{31 - 3 x}$ .

$- 6 - 2 x = 47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x$

Schritt 5

Löse nach $- 8 \sqrt{31 - 3 x}$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x$ um.

$47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 8 \sqrt{31 - 3 x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $47$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x - 47$

Schritt 5.2.2

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = - 6 - 2 x - 47 + 3 x$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $47$ von $- 6$ .

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = - 2 x - 53 + 3 x$

Schritt 5.2.4

Addiere $- 2 x$ und $3 x$ .

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = x - 53$

Schritt 6

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 8 \sqrt{31 - 3 x})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31 - 3 x}$ als ${(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 8)}^{2} {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$64 {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$64 {(31 - 3 x)}^{1} = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Vereinfache.

$64 (31 - 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$64 \cdot 31 + 64 (- 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 7.2.1.6.1

Mutltipliziere $64$ mit $31$ .

$1984 + 64 (- 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $64$ .

$1984 - 192 x = {(x - 53)}^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache ${(x - 53)}^{2}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Schreibe ${(x - 53)}^{2}$ als $(x - 53) (x - 53)$ um.

$1984 - 192 x = (x - 53) (x - 53)$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $(x - 53) (x - 53)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1984 - 192 x = x (x - 53) - 53 (x - 53)$

Schritt 7.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1984 - 192 x = x \cdot x + x \cdot - 53 - 53 (x - 53)$

Schritt 7.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1984 - 192 x = x \cdot x + x \cdot - 53 - 53 x - 53 \cdot - 53$

Schritt 7.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1984 - 192 x = x^{2} + x \cdot - 53 - 53 x - 53 \cdot - 53$

Schritt 7.3.1.3.1.2

Bringe $- 53$ auf die linke Seite von $x$ .

$1984 - 192 x = x^{2} - 53 \cdot x - 53 x - 53 \cdot - 53$

Schritt 7.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 53$ mit $- 53$ .

$1984 - 192 x = x^{2} - 53 x - 53 x + 2809$

Schritt 7.3.1.3.2

Subtrahiere $53 x$ von $- 53 x$ .

$1984 - 192 x = x^{2} - 106 x + 2809$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 106 x + 2809 = 1984 - 192 x$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Addiere $192 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 106 x + 2809 + 192 x = 1984$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 106 x$ und $192 x$ .

$x^{2} + 86 x + 2809 = 1984$

Schritt 8.3

Subtrahiere $1984$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 86 x + 2809 - 1984 = 0$

Schritt 8.4

Subtrahiere $1984$ von $2809$ .

$x^{2} + 86 x + 825 = 0$

Schritt 8.5

Faktorisiere $x^{2} + 86 x + 825$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $825$ und deren Summe $86$ ist.

$11, 75$

Schritt 8.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 11) (x + 75) = 0$

Schritt 8.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

$x + 75 = 0$

Schritt 8.7

Setze $x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.7.1

Setze $x + 11$ gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

Schritt 8.7.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 11$

Schritt 8.8

Setze $x + 75$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.8.1

Setze $x + 75$ gleich $0$ .

$x + 75 = 0$

Schritt 8.8.2

Subtrahiere $75$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 75$

Schritt 8.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 11) (x + 75) = 0$ wahr machen.

$x = - 11, - 75$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $4 = \sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$