Elementarmathematik Beispiele

$e^{x - 1} = {(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x - 1}) = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln (e^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(x - 1) \ln (e) = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Schritt 2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(x - 1) \cdot 1 = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$x - 1 = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$ durch Herausziehen von $x + 5$ aus dem Logarithmus.

$x - 1 = (x + 5) \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (\frac{1}{e^{2}})$ als $\ln (1) - \ln (e^{2})$ um.

$x - 1 = (x + 5) (\ln (1) - \ln (e^{2}))$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln (e^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x - 1 = (x + 5) (\ln (1) - (2 \ln (e)))$

Schritt 3.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - (2 \ln (e)))$

Schritt 3.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - (2 \cdot 1))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - 1 \cdot 2)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - 2)$

Schritt 3.8

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$x - 1 = (x + 5) \cdot - 2$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x + 5) \cdot - 2$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 1 = x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x - 1 = - 2 \cdot x + 5 \cdot - 2$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$x - 1 = - 2 x - 10$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - 1 + 2 x = - 10$

Schritt 5.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$3 x - 1 = - 10$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 10 + 1$

Schritt 6.2

Addiere $- 10$ und $1$ .

$3 x = - 9$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 9$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 9$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 9$ durch $3$ .

$x = - 3$