Elementarmathematik Beispiele

$\log_{16} (x - 4) + \log_{16} (x + 2) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{16} ((x - 4) (x + 2)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 4) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{16} (x (x + 2) - 4 (x + 2)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{16} (x \cdot x + x \cdot 2 - 4 (x + 2)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{16} (x \cdot x + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{16} (x^{2} + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{16} (x^{2} + 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\log_{16} (x^{2} + 2 x - 4 x - 8) = 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $2 x$ .

$\log_{16} (x^{2} - 2 x - 8) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{16} (x^{2} - 2 x - 8) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$16^{1} = x^{2} - 2 x - 8$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 2 x - 8 = 16^{1}$ um.

$x^{2} - 2 x - 8 = 16$

Schritt 3.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 8 - 16 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $16$ von $- 8$ .

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 6, 4$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 4) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.7

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 4$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{16} (x - 4) + \log_{16} (x + 2) = 1$ nicht erfüllen.

$x = 6$