Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(x + 1) (x - 1)$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ mit $(x + 1) (x - 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ mit $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 1) (x - 1)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Schritt 3.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Schritt 3.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.2.3.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.2.3.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.2.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

Schritt 3.2.3.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

Schritt 3.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 x = 3 x^{2} - 3$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

Schritt 3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x - 3 x^{2} + 3$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1.1

Stelle $8 x$ und $- 3 x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x$ heraus.

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

Schritt 3.3.3.1.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ heraus.

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.3.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 3.3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Schritt 3.3.3.2.1.1.2

Schreibe $- 8$ um als $1$ plus $- 9$

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

Schritt 3.3.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

Schritt 3.3.3.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

Schritt 3.3.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

Schritt 3.3.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 3.3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

Schritt 3.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3.3.5

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 3.3.5.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 3.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ nicht erfüllen.

$x = 3$