Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x - 1}{x + 3}) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{x - 1}{x + 3} = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(x - 1) x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Schritt 3.2.1.4.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x = (x + 3) \cdot 1$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$x^{2} - x = x + 3$

Schritt 3.2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - x = 3$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 2 x = 3$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Schritt 3.2.5

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 3.2.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 3.2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.2.8

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$ nicht erfüllen.

$x = 3$