Elementarmathematik Beispiele

$\log_{4} (x^{2} + 3 x) - \log_{4} (x + 5) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 3 x}{x + 5}) = 1$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + 3 x}{x + 5}) = 1$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{x + 5}) = 1$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 3$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x + 3)}{x + 5}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x (x + 3) = 4 (x + 5)$

Schritt 4

Vereinfache $4 (x + 5)$ .

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 3) = 4 x + 4 \cdot 5$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x (x + 3) = 4 x + 20$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x (x + 3) - 4 x = 20$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Schritt 5.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 x = 20$

Schritt 5.3

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$x^{2} - x = 20$

Schritt 6

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - x = 20$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$x (x - 1) = 20$

Schritt 7

Vereinfache $x (x - 1)$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Schritt 7.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 20$

Schritt 7.1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 20$

Schritt 7.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x = 20$

Schritt 8

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 11

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 12

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 4$